Question

19．如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC=CD，AC=CE．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）如图（2），若∠ACB=60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．
①求∠DHF的度数；
②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）由角平分线定义得出∠ACB=∠ECD，由SAS证明△ABC≌△EDC即可；
（2）①由SAS证明△BCF≌△DCG，得出∠CBF=∠CDG，在△BCF和△DHF中，由三角形内角和定理得出∠DHF=∠ACB=60°即可；
②由全等三角形的性质得出∠DEC=∠A，由三角形的外角性质得出∠ECM=∠2+∠1=60°，∠DCM=∠A+∠ABC=120°，得出∠A+∠ABC=2（∠2+∠1）=2∠2+2∠1=2∠2+∠A，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠ACB=∠ECD}&{\;}\\{AC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）①解：在△BCF和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠ACB=∠ECD}&{\;}\\{CF=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCG（SAS）；
∴∠CBF=∠CDG，
在△BCF和△DHF中，∵∠BFC=∠DFH，
∴∠DHF=∠ACB=60°；
②证明：如图（2）所示：
由（1）得：△ABC≌△EDC，
∴∠DEC=∠A，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ECM=60°，
∵EB平分∠DEC，
∴∠DEC=2∠1，
∵∠ECM=∠2+∠1=60°，∠DCM=∠A+∠ABC=120°，
∴∠A+∠ABC=2（∠2+∠1）=2∠2+2∠1=2∠2+∠A，
∴∠ABC=2∠2，
∴BE平分∠ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、对顶角相等的性质以及三角形的外角性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．