Question

14．我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i²=-1（即方程x²=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1．那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁵+i²⁰¹⁶的值为0．

Answer 1

分析 利用i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，将原式化简整理后即可发现每四个数一周期循环，且每周期的和为0，据此可得．

解答 解：i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁵+i²⁰¹⁶=i-1-i+1+i-1-i+1+…+1=0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查一元二次方程的解，根据题意得出化简后每四个数一周期循环，且每周期的和为0．