Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，并且图象经过点（1，0）、（0，2），对称轴为x=-

1

4

，在下列五个结论中：
①abc＜0；②4ac-b²＞0；③a-b+c＞2；④a＜b＜0；⑤ac+2=b．
其中正确的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据抛物线与x轴的公共点的个数可得到b²-4ac＞0；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

＜0得b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则abc＜0；因为对称轴为x=-

1

4

，x=0时，y=2，所以x=-

1

2

时，y=2，由于在对称轴的左侧y随x的增大而增大，则a-b+c＜2；因为x=-

b

2a

=-

1

4

，得出a=2b，由于a＜0，所以a＜b＜0；根据图象经过点（1，0）、（0，2），对称轴为x=-

1

4

，求得a=-

4

3

，b=-

2

3

，c=2，所以ac+4=b；

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

1

4

＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有公共点，
∴b²-4ac＞0，
∴4ac-b＜0，
所以②错误；
∵对称轴为x=-

1

4

，x=0时，y=2，
∴x=-

1

2

时，y=2，
∵在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，a-b+c＜2，
所以③错误；
∵x=-

b

2a

=-

1

4

，
∴a=2b，
∵a＜0，
∴a＜b＜0
所以④正确；
∵当x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，
∵x=0时，y=2，
∴c=2，
∵a=2b，
∴2b+b+2=0，
∴b=-

2

3

，
∴a=-

4

3

，
∴ac+2-b=-2，
∴ac+4=b，
所以⑤错误；
故选B．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．