Question

16．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，求证OA=CD+OD；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出OA=3，OB=1，再判断出AB=CB，∠BAO=∠CBH，进而得出△AOB≌△BHC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出∠CBD=90°，再判断出∠BCD=∠DAF，进而判断出△ABE≌△CBD，得出AE=CD，最后判断出DF=CF即可得出结论、

解答 解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∵A（-3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
在△AOB和△BHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC=90°}\\{∠BAO=∠CBH}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BHC，
∴CH=OB=1，BH=OA=3，
∴OH=OB+BH=4，
∴C（-1，4）；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC=90°}\\{∠BAO=∠CBH}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC，
∴CD=OB，BD=OA，
∵BD=OB+OD=CD+OD，
∴OA=CD+OD；

（3）CF=$\frac{1}{2}$AE，
理由：如图3，延长CF，AB相交于点D，
∴∠CBD=180°-∠ABC=90°，
∵CF⊥x轴，
∴∠BCD+∠D=90°，
∵∠DAF+∠D=90°，
∴∠BCD=∠DAF，
在△ABE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBD}\\{∠BAE=∠BCD}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，
∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，
∴AC=AD，
∵CF⊥x轴，
∴CF=DF，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是构造全等三角形，是一道中等难度的中考常考题．