定义:在平行四边形中.若有一条对角线是一边得两倍.则称这个平行四边形为两倍四边形.其中这条对角线叫做两倍对角线.这条边叫做两倍边．如图1.四边形ABCD是平行四边形.BE∥AC.延长DC交BE于点E.连结AE交BC于点F.AB=1.AD=m．(1)若∠ABC=90°.如图2．①当m=2时.试说明四边形ABEC是两倍四边形,②是否存在值m.使得四边形ABCD是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边得两倍，则称这个平行四边形为两倍四边形，其中这条对角线叫做两倍对角线，这条边叫做两倍边．
如图1，四边形ABCD是平行四边形，BE∥AC，延长DC交BE于点E，连结AE交BC于点F，AB=1，AD=m．
（1）若∠ABC=90°，如图2．
①当m=2时，试说明四边形ABEC是两倍四边形；
②是否存在值m，使得四边形ABCD是两倍四边形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
（2）如图1，四边形ABCD与四边形ABEC都是两倍四边形，其中BD与AE为两倍对角线，AD与AC为两倍边，求m的值．

分析（1）①由平行四边形的性质得出AB∥DE，证出四边形ABEC是平行四边形，求出BC=2AB，即可得出四边形ABEC是两倍四边形；
②当AC=2CD时，四边形ABCD是两倍四边形，此时AD=m=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$；当AC=2AD时，四边形ABCD是两倍四边形，由勾股定理得出方程m²+1²=（2m）²，解方程即可；
（2）由两边四边形的定义得出AD=DG，得出∠DAG=∠AGD，同理AC=AF，得出∠ACF=∠AFC，证出∠ADG=∠CAF，$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AE}$，得出△ADB∽△ACE，由AB=CE，得出△ADB≌△ACE，由全等三角形的性质得出AC=AD，作DM⊥AC于M，设AM=x，则AC=AD=4x，由勾股定理得：DM=$\sqrt{15}$x，CD=2$\sqrt{6}$x，由CD=AB=1得出方程，解方程即可．

解答（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵AB=1，BC=m=2，
∴BC=2AB，
∴四边形ABEC是两倍四边形；
②解：存在，理由如下：
当AC=2CD时，四边形ABCD是两倍四边形，此时AD=m=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
当AC=2AD时，四边形ABCD是两倍四边形，
则有m²+1²=（2m）²，
解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去），
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴m的值为$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，四边形ABCD是两倍四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是两倍四边形，BD为两倍对角线，AD为两倍边，
∴AD=DG，
∴∠DAG=∠AGD，
∵四边形ABEC是两倍四边形，AE为两倍对角线，AC为两倍边，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
又∵∠DAG=∠ACF，
∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC，
∴∠ADG=∠CAF，
又∵$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴△ADB∽△ACE，
又∵AB=CE，
∴相似比为1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC=AD，
作DM⊥AC于M，如图1所示：
设AM=x，则AC=AD=4x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM=$\sqrt{15}$x，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：CD=2$\sqrt{6}$x，
∵CD=AB=1，
∴2$\sqrt{6}$x=1，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
∴AD=4x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即m=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．