Question

15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC+∠BOC=180°，BC=2$\sqrt{3}$cm，则⊙O的半径为2cm．

Answer 1

分析 如图作OE⊥BC于E．首先证明∠BOC=120°，在Rt△BOE中，易知OB=2OE，设OE=x，OB=2x，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 解：如图作OE⊥BC于E．

∵∠BAC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠A，
∴∠BOC=120°，∠A=60°，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC=$\sqrt{3}$，∠BOE=∠COE=60°，
∴∠OBE=30°，
∴OB=2OE，设OE=x，OB=2x，
∴4x²=x²+（$\sqrt{3}$）²，
∴x=1，
∴OB=2cm．
故答案为2．

点评 本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．