Question

1．已知关于x的一元二次方程x²-kx+k-1=0．
（1）求证：此一元二次方程恒有实数根．
（2）无论k为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式的符号来判定关于x的一元二次方程x²-kx+k-1=0的根的情况．
（2）利用求根根式求得方程的两个根，得到其中一根是常数．

解答 （1）证明：∵△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（k-1）=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴此一元二次方程恒有实数根．

（2）解：解方程x²-kx+k-1=0，得
$x=\frac{{-（-k）±\sqrt{{{（k-2）}^2}}}}{2×1}=\frac{k±（k-2）}{2}$，
解得x₁=k-1，x₂=1．
其中根X=1与k的取值无关，所以此方程的定值根为x=1．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．