Question

8．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM=AD+MC．

【探究展示】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD两边AB=6，BC=9，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）先构造出△ADE≌△NCE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）设出MC=x，利用（2）的结论得出AM=9+x，再利用勾股定理建立方程求出CM即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD=CN，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）结论AM=AD+CM仍然成立，
理由：如图2，
延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD=CN，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（3）设MC=x，则BM=BC-CN=9-x，
由（2）知，AM=AD+MC=9+x，
在Rt△ABC中，AM²-BM²=AB²，
（9+x）²-（9-x）²=36，
∴x=1，
∴AM=AD+MC=10．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ADE≌△NCE和利用勾股定理建立方程，是一道基础题目．