Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．

（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer 1

【考点】正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；

（2）过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则有S_△ADQ=AD•QE=S_{正方形ABCD}，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有解得AP值；

（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性质知，①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形，②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC﹣AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，

无论点P运动到AB上何处时，都有

AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，

∴△ADQ≌△ABQ；

（2）解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，

∵在边长为4的正方形ABCD中，

∴S_{正方形ABCD}=16，

∴AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，

∴QE=，

∵EQ∥AP，

∴△DEQ∽△DAP，

∴，即=，

解得AP=2，

∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．

AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，

∴QE=，

∵点Q在正方形对角线AC上，

∴Q点的坐标为（，），

∴过点D（0，4），Q（，）两点的函数关系式为：y=﹣2x+4，

当y=0时，x=2，

∴P点的坐标为（2，0），

∴AP=2时，即当点P运动到AB中点位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）解：若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，

①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°

∴∠ADQ=90°，P为C点，

②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，

∴∠AQD=90°，P为B，

③AD=AQ（P在BC上），

∴CQ=AC﹣AQ=BC﹣BC=（﹣1）BC

∵AD∥BC

∴=，即可得==1，

∴CP=CQ=（﹣1）BC=4（﹣1）

综上，P在B点，C点，或在CP=4（﹣1）处，△ADQ是等腰三角形．