Question

如图, 在平面直角坐标系中,点A，B分别是轴正半轴, 轴正半轴上两动点, ，，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线交轴于点D，P为顶点，PM⊥轴于点M．

（1）求，的长(结果均用含的代数式表示)．

（2）当时,求该抛物线的表达式．

（3）在点在整个运动过程中．

①若存在是等腰三角形,请求出所有满足条件的的值．

 ②当点A关于直线DP的对称点恰好落在抛物线的图象上时，请直接写出的值．

Answer 1

解：（1）把x=0，代入，得．∴．

∵，∴． （3分）

        （2）∵，∴,．

              又∵，，∴，解得．

              ∴该抛物线的表达式为．                      （3分）

 （3）①

Ⅰ）当点P在矩形AOBC外部时

        如图1，过P作PK⊥OA于点K，当AD=AP时,

        ∵AD=AO-DO=2k-k=k，

∴AD=AP =k，KA=KO-AO=PM-AO=

        KP=OM=2，在Rt△KAP中，

         ∴，解得．

Ⅱ）当点P在矩形AOBC内部时

当PD=AP时,如图2，过P作PH⊥OA于H，

    AD=k，HD=，

又∵HO=PM=，

∴，解得．

当DP=DA时,如图3，过D作PQ⊥PM于Q，

PQ=PM-QM=PM-OD=

DQ=OM=2，DP=DA=k，

在Rt△DQP中，．

           ∴．          （6分）

②．