题目内容
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{3}{4}$x+2m（m＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=-mx+n经过点B，与x轴交于点C，∠BAO=2∠OBC（1）求m的值
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向点A运动，动点Q从点A出发，以每秒$\frac{5}{4}$个单位的速度沿线段AB向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）当t为何值时，线段PQ的长度最小？并求出这个最小值
（3）在（2）的条件下，以OB为直径作⊙M，问，是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙M相切，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先确定出A，B坐标，进而得出n=2m，再用勾股定理得出AB=$\frac{10}{3}$m，AC=2+$\frac{8}{3}$m，再判断出AC=AB，建立方程求解即可；
（2）先判断出PQ最小时的位置，再用相似三角形的性质建立方程即可；
（3）先判断出△BFM≌△EFM 得到∠BMF=∠EMF，进而判断出，△BMF∽△OPM∴BF=$\frac{9}{t}$，最后用△BQF∽△AQP建立方程求解即可．
解答 解：（1）∵直线y=$\frac{3}{4}$x+2m（m＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-$\frac{8}{3}$m，0），B（0，2m），
∵直线y=-mx+n经过点B，
∴n=2m，
∴C（2，0），
∴AB=$\sqrt{（-\frac{8}{3}m）^{2}+（2m）^{2}}$=$\frac{10}{3}$m，AC=2+$\frac{8}{3}$m
∵∠BAO=2∠OBC，
∴∠ABO=∠90°-∠BAO=90°-2∠OBC，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°-∠OBC，
∵∠ACB=90°-∠OBC，
∴AC=AB，
∴2+$\frac{8}{3}$m=$\frac{10}{3}$m，
∴m=2，
（2）当PQ⊥OA时，PQ长度最小，
∵OB⊥OA，
∴PQ∥OB
∴△APQ∽△ABO，
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AO}$=$\frac{PQ}{OB}$，
∴$\frac{\frac{5}{4}t}{10}=\frac{8-t}{8}$=$\frac{PQ}{6}$，
∴t=4，
∴PQ=3，
即PQ的最小值为3；
（3）如图，
设直线PQ与⊙M相切于点E，过B作BF⊥BO交直线PQ于F 连接EM、FM、PM 则BM=EM，BF=EF又∵FM=FM，
∴△BFM≌△EFM
∴∠BMF=∠EMF
同理，∠PMO=∠PME
∵∠BMF+∠EMF+∠PMO+∠PME=180°
∴∠BMF+∠PMO=90°
∵∠OPM+∠PMO=90°，
∴∠BMF=∠OPM
又∵∠MBF=∠POM=90°，
∴△BMF∽△OPM
∴$\frac{BF}{OM}=\frac{BM}{OP}$
∴BF=$\frac{BM}{OP}×OM$=$\frac{3}{t}×3$=$\frac{9}{t}$
∵△BQF∽△AQP，
∴$\frac{BF}{AP}=\frac{BQ}{AQ}$
∴$\frac{\frac{9}{t}}{8-t}=\frac{10-\frac{5}{4}t}{\frac{5}{4}t}$
∴（8-t）2=9
解得t1=5，t2=11（舍去）
∴存在某一时刻t，使直线PQ与⊙M相切，此时t=5
点评 此题是圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，也是解本题的难点．
抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于Q，P、Q两点间距离为m
如图，四边形ABCD两边AB，CD与以BC为直径的圆O分别交于点E、F，若∠A=135°，∠D=∠120°，BC=4，则扇形BOE与扇形COF的面积之和为$\frac{5π}{3}$．
如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．