Question

1．抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于Q，P、Q两点间距离为m
（1）求BC的解析式；
（2）取线段BC中点M，连接PM，当m最小时，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么四边形；
（3）设N为y轴上一点，在（2）的基础上，当∠OBN=2∠OBP时，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的性质先确定出点A，B，C的坐标，即可求出直线BC解析式，
（2）先判断出m最小时，直线PQ和抛物线只有一个交点，进而得出点P的坐标，再利用两点间的距离公式得出BM=OP=OM即可判断出四边形POMB是菱形．
（3）②先确定出直线PQ解析式，进而判断出直线PQ过点O，即可得出OP∥BC，再用角平分线定理即可得出点N的坐标，
②借助①得出的点N的坐标和对称性即可得出y轴正半轴上的点N的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，
∴C（0，2），
令y=0，则0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2，∴x=1或x=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
（2）四边形POMB是菱形，
理由：如图，

∵P、Q两点间距离为m，且m最小，即：m=0，此时直线PQ和抛物线只有一个交点，
∵PQ平行BC，∴设直线PQ解析式y=-$\frac{1}{2}$x+b①，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2②，
联立①②得，x²-4x+4-2b=0，
∴△=16-4（4-2b）=0，∴b=0，
∴直线PQ解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，P（2，-1），
∴直线PQ过原点，
∴OP∥BM，
∴OP=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∵B（4，0），C（0，2），取线段BC中点M，
∴M（2，1），
∴BM=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴OP=BM，
∵OP=BM，
∴四边形POMB是平行四边形，
∵OM=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴OP=OM，
∴平行四边形POMB是菱形；
（3）由（2）知，B（4，0），P（2，-1），
∴直线BP解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴H（0，-2）
①当点N在y轴负半轴上时，
∵∠OBN=2∠OBP，
∴BP是∠OBN的角平分线，
∴$\frac{OB}{BN}=\frac{OH}{NH}$，
设N（0，n），
∵B（4，0），
∴OB=4，OH=2，NK=-2-n，BN=$\sqrt{16+{n}^{2}}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{16+{n}^{2}}}=\frac{2}{-2-n}$，
∴n=0（舍）或n=-$\frac{16}{3}$，
∴N（0，-$\frac{16}{3}$），
②当点N在y轴正半轴时，由对称性得出，N（0，$\frac{16}{3}$）
即点N的坐标为N（0，-$\frac{16}{3}$）和（0，$\frac{16}{3}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，平行线的性质，待定系数法确定直线解析式，角平分线定理，解本题的关键是确定出点P的坐标．