Question

1．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN的最小值为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出结论，由条件把AM、AN用含x的式子表示出来，由勾股定理把MN表示出来解答即可．

解答 解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B+∠DAC=90°，
∴∠BDM+∠MDA=∠ADN+∠MDA=90°
∴∠BDM=∠ADN，
∴△BMD∽△AND，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{BD}{AD}$，
∵$\frac{DB}{AD}=cotB=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
∴DM：DN=$\frac{3}{4}$，
∵△BMD∽△AND，
∴$\frac{BM}{AN}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{4}$∴，
∴AN=$\frac{4}{3}$BM∴，
设BM为x，
∴AN=$\frac{4}{3}x$，AM=6-x，
∵∠BAC=90°，
∴MN²=（6-x）²+（$\frac{4}{3}$x）²=（$\frac{5}{3}x-\frac{18}{5}$）²+$\frac{576}{25}$，
故MN的最小值是$\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}$，
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查相似三角形的性质，关键是利用勾股定理得出BC和CD，再将AM、AN用含x的式子表示出来，利用二次函数的最值计算即可．