Question

9．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 求出∠ADB=∠ADF，根据SAS证△ABD≌△FED，推出∠F=∠ABD=60°，AB=AF=AC，得出△ACF是等边三角形，推出AC=CF即可．

解答 解：AC=BD+CD，
理由是：延长CD到F，使DF=BD，连接AF，
∵ED⊥AD，DE平分∠BDC，
∴∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$∠BDC，
∴∠ADF=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠BDC）-∠BDC=90°-$\frac{1}{2}∠BDC$，
∴∠ADB=∠ADF，
在△ABD和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADF}\\{BD=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴∠F=∠ABD=60°，AB=AF，
∵AB=AC，
∴AF=AC，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC=CF=CD+DF=BD+CD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．