Question

12．如图1，已知直线y=-3x+6与x轴、y轴交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，S_△BOC=3S_△BOA
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，一条直线y=mx经过原点，与直线AB，BC分别交于点E、F，若S_△BOE=S_△BOF，求m的值；
（3）如图3，将（2）中直线EF向上平行移动后经过点B，与x轴交于点G，设H为线段BG上一点（含端点），连接AH，一动点M从点A出发，沿线段AH运动到H，再沿线段HB运动到B后停止，若点M在AH上的速度为每秒1个单位，在HB上的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位，当点H的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

分析 （1）根据轴上S_△BOC=S_△AOB可以求出点C坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．
（2）利用方程组求出点E、F坐标，根据题意OE=OF，说明E、F两点的横坐标互为相反数，由此可以求出m．
（3）作BP⊥y轴，AK⊥BP垂足为K，因为点M从A→H→B的时间t=$\frac{AH}{1}$+$\frac{BH}{\sqrt{2}}$=AH+HK=AK，AK是点A到直线BP的垂线段，根据垂线段最短，点H就是所找的点，这样点H的坐标就不难求出来了．

解答 解：（1）∵直线y=-3x+6与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，6），
∵S_△BOC=3S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$×CO×6=3×$\frac{1}{2}$×2×6，
∴CO=6，
∴点C坐标（-6，0），
设直线BC为y=kx+b，B、C两点坐标分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=x+6．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{y=x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m-1}}\\{y=\frac{6m}{m-1}}\end{array}\right.$，故F点坐标为（$\frac{6}{m-1}$，$\frac{6m}{m-1}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{y=-3x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m+3}}\\{y=\frac{6m}{m+3}}\end{array}\right.$，故E点坐标为（$\frac{6}{m+3}$，$\frac{6m}{m+3}$），
∵S_△BOE=S_△BOF，
∴OF=OE，
∴$\frac{6}{m-1}+\frac{6}{m+3}=0$，
解得m=-1，经过检验x=-1是分式方程的解，
故m=-1．
（3）如图作BP⊥y轴，AK⊥BP垂足为K，交BG于H，此时点M从A→H→B用时最少．
理由：∵直线EF为y=-x，
∴∠AOF=∠COF=45°，
∵BG∥EF，
∴∠GBO=∠BOF=45°，
∵∠PBO=45°，
∴∠KBH=∠BHK=45°，
∴KH=$\frac{BH}{\sqrt{2}}$，
∴点M从A→H→B的时间t=$\frac{AH}{1}$+$\frac{BH}{\sqrt{2}}$=BH+HK=AK，
∵AK⊥BP，
∴垂线段AK最短，故点M从A→H→B用时最少，
∵∠AOB=∠OBK=∠AKB=90°，
∴四边形AOBK是矩形，
∴AK=BO=6，OA=BK=2，
∴BK=HK=2，AH=4，
∴H（2，4）．

点评 本题考查一次函数图象与性质、待定系数法、用方程组求交点坐标、垂线段最短、矩形以及等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用垂线段最短是解决最后一个问题的关键．