Question

7．在?ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC=4或8．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，证明△ADP≌△CBQ，根据全等三角形的性质、结合图形证明；
（2）同（1）的方法相似，证明△ABP≌△CDQ，根据全等三角形的性质证明；
（3）把已知数据代入（1）（2）的结论，计算即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AP∥CQ，
∴∠APQ=∠CQB，
在△ADP和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠CQB}\\{∠ADP=∠CBQ}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，
∵AD=BD，AD=BC，
∴BD=BC，
∵BD=BP+DP，
∴BC=BP+BQ；
（2）图②：BQ-BP=BC，
理由是：∵AP∥CQ，
∴∠APB=∠CQD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵AB=CD，
同（1）得，△ABP≌△CDQ，
∴BP=DQ，
∴BC=AD=BD=BQ-DQ=BQ-BP；
图③：BP-BQ=BC，
理由是：同理得：△ADP≌△CBQ，
∴PD=BQ，
∴BC=AD=BD=BP-PD=BP-BQ；
（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=2+6=8，图②，BC=BQ-BP=PD-DQ=6-2=4，
∴BC=4或8．

点评 本题考查的是平行四边形的性质、强的三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助性、灵活运用类比思想是解题的关键．