Question

8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ACB=29°，∠ACD=45°，E为对角线AC的中点．
（1）写出图中所有的等腰三角形．
（2）求∠BDE的大小．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠DAC=45°，于是得到∠DAC=∠ACD，证得△ADC是等腰直角三角形，由于∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，于是得到DE=BE=AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠EDC=∠ACD=45°，∠EBC=∠ECB=29°，根据三角形外角的性质得到∠DEA=90°，∠BEA=2×29°=58°，然后根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DAC=∠ACD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∵∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，
∴DE=BE=AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴△BDE，△ADE，△CDE，△ABE，△BCE，是等腰三角形；

（2）∵DE=BE=AE=CE，
∴∠EDC=∠ACD=45°，∠EBC=∠ECB=29°，
∴∠DEA=90°，∠BEA=2×29°=58°，
∴∠BED=148°，
∴∠BDE=$\frac{180°-148°}{2}$=16°．

点评 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．