Question

阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A．B两点的坐标分别为A（，B，AB中点P的坐标为．由，得，同理，所以AB的中点坐标为（，）．由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为AB=．

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：

如图2，直线l：与抛物线交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

  

（1）求A、B两点的坐标及P、C两点的坐标；

（2）连结AB、AC，求证：△ABC为直角三角形；

（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

Answer 1

（1）A（，），B（，），P（，3），C（，）；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】（1）由，解得：，，则A，B两点的坐标分别为：A（，），B（，），∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，），即（，3），又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将代入中得，∴C点坐标为（，）；

（2）由两点间距离公式得：AB==5，PC=，∴PC=PA=PB，∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形；

（3）过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，则H点的坐标为（，），∴S_△PAC=AP•CG=PC•AH，∴CG=AH=．又∵直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，∴直线l与l′之间的距离为．