Question

如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为 “两点的等距线”．

图1

（1）如图1，直线CD经过线段AB的中点P,试说明直线CD是点A、B的一条等距线．

（2）如图2，A、B、C是正方形网格中的三个格点,请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A、B的等距线”．

（3）如图3，抛物线过点（，），（3，），顶点为C．抛物线上是否存在点P ,使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析；（2）图形详见解析；（3）存在点P（，-） 或（-2，- )使S_△APC=S_△BPC．

【解析】（1）分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E,F

∴∠AEP=∠BFP=90°∵P是AB中点， ∴AP=BP又∵∠APE=∠BPF∴△AEP≌△AFP

∴AE=BF,即直线CD是点A、B的一条等距线．

（2）如图，直线m₁、m₂就是所有的直线

（3）由题意知，得，∴抛物线为y=-x²+x-

∵S_△APC=S_△BPC．，∴A、B两点到直线PC的距离相等

①当PC∥AB时，计算得直线AB解析式为y=x-，直线CP解析式为y=x-

解,得x₁=，x₂=；∴点P（，-）；

②当直线CP过AB中点时，易求AB中点E（2，-），直线CE解析式为y=x-10,

解,得x₁=2，x₂=；；∴点P(-2,-)

综上所述存在点P（，-） 或（-2，- )  使S_△APC=S_△BPC．