Question

13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，点E在边AD上，沿BE折叠点落在矩形内部的A'处，再把矩形沿EF折叠，使点D落在AC边上的点D'处，旦点E、A'、D'在同一直线上，求AD的最小值．

Answer 1

分析 如图，作EH⊥BC于H．设AE=x，则易知ED=ED′=BD′，设ED=BDED′=y，在Rt△EHD′中，y²=2²+（y-x）²，可得y=$\frac{4+{x}^{2}}{2x}$=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$x，
∴AD=x+y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{\frac{3}{2}x•\frac{2}{x}}$由此即可解决问题．

解答 解：如图，作EH⊥BC于H．设AE=x，则易知ED=ED′=BD′，设ED=BDED′=y，
在Rt△EHD′中，y²=2²+（y-x）²，
∴y=$\frac{4+{x}^{2}}{2x}$=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$x，
∴AD=x+y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{\frac{3}{2}x•\frac{2}{x}}$，（a+b≥2$\sqrt{ab}$，a＞0，b＞0）
∴AD≥2$\sqrt{3}$，
∴AD的最小值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查翻折变换、勾股定理、矩形的性质、不等式的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，记住a+b≥2$\sqrt{ab}$，a＞0，b＞0，这个基本不等式．