Question

3．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个动点，OD平分∠AOC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的直径AB=4，∠AOC=120°，请在备用图上画出符合条件的图形，并求四边形ACDE的周长．

Answer 1

分析 （1）根据OD平分∠AOC可得弧AD=弧CD，利用垂径定理的推论可得OD⊥AC，则DE⊥AC，然后利用切线的判定定理证得DE与圆相切；
（2）证明△COD是等边三角形，则易证四边形ACDE是平行四边形，在Rt△AOM中，根据AC=2AM即可求解．

解答 解：（1）直线DE与⊙O相切．
理由：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∴弧AD=弧CD，
∴OD⊥AC．
∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线，即直线DE与⊙O相切．
（2）如图所示，
∵OD平分∠AOC，∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∵OA=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=2，∠CDO=60°=∠AOD，
∴CD∥BE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=2，DE=AC，
在Rt△AOM中，∵sin60°=$\frac{AM}{OA}$，
∴AM=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，由垂径定理得AC=2AM=2$\sqrt{3}$，
∴四边形ACDE的周长是2（2+2$\sqrt{3}$）=4+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理以及平行四边形的判定与性质，求弦长的问题转化为直角三角形的计算是关键．