Question

13．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弧BC的长；
（2）求弧BD的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出$\widehat{BC}$的长即可．
（2）根据∠ACB的平分线交⊙O于点D确定AD=BD，从而求得∠BOD=∠AOD=90°，最后根据弧长公式，求出$\widehat{BD}$的长即可．

解答 解：（1）如图，连接OC，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴$\widehat{BC}$的长=$\frac{120π×5}{180}$=$\frac{10}{3}$π．
（2）∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴∠BOD=∠AOD=90°，
∴$\widehat{BD}$的长=$\frac{90π×5}{180}$=$\frac{5}{2}$π．

点评 此题主要考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握性质定理以及公式．