Question

12．如图，已知等腰直角三角形ABC中，CA=CB，BE平分∠ABC且交AC边于点E，点F在BC的延长线上，∠CAF=∠CBE，延长BE交AF于点D．
（1）求证：BE=AF；
（2）求证：△BAD∽△AED；
（3）DA与DF相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证得△BCE≌△ACF，即可得到结论；
（2）由BE平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，由于∠CAF=∠CBE，得到∠ABD=∠DAE，即可得到结论；
（3）首先证得△ABD≌△FBD，根据全等三角形的性质可得结论AD=DF．

解答 解：（1）在△BCE与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠FAC}\\{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF，
∴BE=AF；

（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵∠CAF=∠CBE，
∴∠ABD=∠DAE，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△BAD∽△ADE；

（3）相等，
∵∠CAF=∠CBE，
∴∠CAF+∠F=∠CBE+∠F=90°，
∴∠BDF=90°，
∴∠ADB=90°，
在△ABD与△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠FBD}\\{BD=BD}\\{∠ADB=∠FDB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD，
∴AD=DF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．