Question

1．如图，P是正方形ABCD对角线BD上的一动点（不与B、D重合），PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：四边形FCEP为矩形；
（2）求证：四边形FCEP的周长是定值：
（3）求证：AP=EF；
（4）在P点运动过程中，EF的长也随之变化，若正方形ABCD的边长为2．求EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）证出四边形FCEP有三个角为直角即可；
（2）证出△PDE是等腰直角三角形，得出PE=DE，再由矩形的性质即可得出结论；
（3）利用正方形的关于对角线成轴对称得出AP=CP，利用矩形的性质得出EF=CP，即可得出结论；
（4）由EF=AP，得出EF的最小值即为AP的值，问题得解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PED=∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形FCEP为矩形；
（2）证明：∵四边形FCEP为矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠PDE=45°，
∵∠PED=90°，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PE=DE=CF，
∴四边形FCEP的周长=2（PE+CE）=2（DE+CE）=2CD，
即四边形FCEP的周长是定值；
（3）证明：如图，连接PC，
∵四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
又∵四边形ABCD是正方形，P为BD上任意一点，
∴PA、PC关于BD对称，
∴PA=PC，
∴AP=EF；
（4）解：由（3）可知AP=EF恒成立，则EF的最小值转化为AP的最小值，
∴当AP⊥BD时，AP取得最小值，AP=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
故EF的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和矩形的性质是解决问题的关键．