Question

15．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC
（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）结论：△BCE是等腰三角形，根据平行四边形的性质以及已知条件，只要证明∠CBE=∠BEC即可．
（2）先证明四边形ABCD是矩形，然后分别在RT△ECD，和RT△ABE中利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）如图1中，结论：△BCE是等腰三角形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠AEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE，
∴△CBE是等腰三角形．
（2）解：如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，
在RT△ECD中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，
∴AB=CD=$\sqrt{E{C}^{2}-{DE}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
在RT△AEB中，∵∠A=90°AB=3．AE=1，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是这些知识的灵活运用，属于中考常考题型．