Question

5．先化简再求值：$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}+2x}÷（x-\frac{4x-4}{x}）$，其中x是一元二次方程x²-4x-1=0的正数根．

Answer 1

分析 先把括号内通分，再把分子分母因式分解，然后把除法运算化为乘法运算，约分得到原式=$\frac{1}{x-2}$，再利用配方法解方程x²-4x-1=0，把正数根代入计算即可．

解答 解：原式=$\frac{（x+2）（x-2）}{x（x+2）}$÷$\frac{{x}^{2}-（4x-4）}{x}$
=$\frac{（x+2）（x-2）}{x（x+2）}$•$\frac{x}{（x-2）^{2}}$
=$\frac{1}{x-2}$，
解x²-4x-1=0得x₁=2+$\sqrt{5}$，x₂=2-$\sqrt{5}$，
当x=2+$\sqrt{5}$时，原式=$\frac{1}{2+\sqrt{5}-2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．