Question

13．如图，正方形ABCD中，点P是BC边上的任意一点（异于端点B，C），连接AP，过点B，D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．
（1）求证：△ADF≌△BAE；
（2）若DF=5，BE=2，求EF长度．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；
（2）由△ADF≌△BAE（AAS），可知AF=BE，DF=AE，推出EF=AE-AF=DF-BE即可解决问题；

解答 （1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，
∴∠DAF=∠ABE，
在△ADF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠ABE}\\{∠DFA=∠AEB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BAE（AAS），

（2）解：∵△ADF≌△BAE（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∴EF=AE-AF=DF-BE=5-2=3；

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，正确寻找全等三角形是解题的关键．