Question

10．二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+2m+5的图象与坐标轴的三个交点分别为A、B、C，且△ABC是直角三角形，则m的值为-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 分别令x=0和y=0代入求抛物线与两坐标轴的交点，写出相应线段的长，再证明△AOC∽△COB，$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$，代入即可求出m的值，并取舍．

解答 解：如图，当x=0时，y=2m+5，
∴C（0，2m+5），
∴OC=2m+5，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+mx+2m+5=0，
x²-2mx-4m-10=0，
x=m±$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，
∴A（m-$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，0）、B（m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，0），
∴OB=m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，OA=-m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
∴OC²=AO•OB，
∴（2m+5）²=（m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$）（-m+$\sqrt{{m}^{2}+4m+10}$），
4m²+20m+25=m²+4m+10-m²，
4m²+16m+15=0，
（2m+3）（2m+5）=0，
m₁=-$\frac{3}{2}$，m₂=-$\frac{5}{2}$，
当m₂=-$\frac{5}{2}$时，y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{5}{2}$x，
此时抛物线与y轴交在原点处，即抛物线与两坐标轴的交点为两个，不能构建成三角形，不符合题意，舍去；
∴m=-$\frac{3}{2}$，
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与两坐标轴的交点，与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．与y轴的交点，令x=0，即y=c；根据直角三角形，证明两三角形相似，列比例式可求解．