Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sin∠B=$\frac{4}{5}$．点P从点B出发沿BA方向向点A运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿A→C→B方向向点B运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当点Q在AC上运动时，t为何值时△APQ是直角三角形？
（2）当t=6时，求tan∠BPQ；
（3）当△APQ的面积为8时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）分两种用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；
（2）先判断出点Q在BC上，先用求出BQ，进而用锐角三角函数求出BE，即可得出PE，结论得出；
（2）分点Q在AC和BC上两种情况，用三角形的面积公式建立方程求解即可．

解答 解：（1）如图1，
①当∠APQ=90°时，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sin∠B=$\frac{4}{5}$，
∴AC=8，AB=6，
由运动知，BP=t，AQ=2t，
∴AP=10-t，
∵∠A=∠A，∠C=∠APQ=90°，
∴△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{10-t}{8}=\frac{2t}{10}$，
∴t=$\frac{50}{13}$，
②如图2，当∠AQP=90°时，∠C=∠AQP=90°，
∴PQ∥BC，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{2t}{8}=\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{20}{7}$．
即：满足条件的t的值为$\frac{20}{7}$或$\frac{50}{13}$．
（2）如图3，

当t=6时，点Q运动了2×6=12＞8，
∴点Q在BC上，
∴CQ=12-AC=12-8=4，
∴BQ=BC-CQ=2，
过点Q作QE⊥AB于E
在Rt△BEQ中，sin∠B=$\frac{QE}{BQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QE}{2}=\frac{4}{5}$，
∴QE=$\frac{8}{5}$，
∴BE=$\frac{6}{5}$，
∵BP=6，
∴PE=BP-BE=6-$\frac{6}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴tan∠BPQ=$\frac{QE}{PE}$=$\frac{1}{3}$；
（3）①当点Q在AC上时，如图4，
过点Q作QE⊥AB，在Rt△ABC中，sin∠B=$\frac{4}{5}$．
∴sin∠A=$\frac{3}{5}$．
∴QE=AQsin∠A=$\frac{3}{5}$×2t=$\frac{6}{5}$t，
∵△APQ的面积为8，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$×AP×QE=$\frac{1}{2}$×（10-t）×$\frac{6}{5}$t=8，
∴t=$\frac{15-\sqrt{105}}{3}$或t=$\frac{15+\sqrt{105}}{3}$（大于7，所以舍去），
②当点Q在BC上时，如图5，
过点Q作QE⊥AB，
在Rt△BEQ中，sin∠B=$\frac{4}{5}$．BQ=14-2t，
∴sin∠B=$\frac{QE}{BQ}$=$\frac{QE}{14-2t}=\frac{4}{5}$，
∴QE=$\frac{4}{5}$（14-2t）
∴S△APQ=$\frac{1}{2}$AP×QE=$\frac{1}{2}$（10-t）×$\frac{4}{5}$（14-2t）=8，
∴t=2（舍）或t=5；
即：满足条件的t的值为$\frac{15-\sqrt{105}}{3}$或5．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是找出相等关系建立方程，是一道比较简单的中考常考题．