Question

17．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直 线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：
①AO=BO；
②OE=OF；
③△EAM≌△CFN；
④△EAO≌△CNO，
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即可求得①错误；
②易证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO；
③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；
④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．

解答 解：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误；

②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠E=∠F，
在△AOE和△COF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
故②正确；

③由②知，△AOE≌△COF，则∠A=∠F、AE=CF．
在△EAM与△CFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠F}\\{AE=CF}\\{∠EAM=∠FCN}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△CFN（ASA），
故③正确；

④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等，
故△EAO和△CNO不全等，故④错误，
即②③正确．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形对边平行的性质，本题中求证△AOE≌△COF是解题的关键．