Question

11．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB=10，如图作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，直线CD过点O．
（1）写出线段AC、BD的关系；
（2）动点P从A出发，沿A-O-B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B-O-A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图，∵∠DBO=∠ABO，OB⊥AE，
∴∠BAO=∠BEO，
∴AB=BE，
∴AO=OE，
∵∠CAy=∠BAO，
∴∠CAy=∠BEO，
∴∠DEO=∠CAO
在△ACO与△EDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAO=∠DEO}\\{OA=OE}\\{∠AOC=∠DOE}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△EDO，
∴∠C=∠D，AC=DE，
∴AC∥BD，AC=BD-10；
（2）设运动的时间为t秒，
（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO=QO得：6-t=8-2t，解得t=2（秒），
（ii）当点P、Q都在y轴上时PO=QO得：6-t=2t-8，解得t=$\frac{14}{3}$（秒），
（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO=QO得：t-6=2t-8，解得t=2（秒）不合题意；
当点Q提前停止时，有t-6=6，解得t=12（秒），
综上所述：当两动点运动时间为2、$\frac{14}{3}$、12秒时，△OPE与△OQF全等．

点评 本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．