Question

20．设x₁，x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使得x₁x₂＞x₁+x₂成立？请说明理由．

Answer 1

分析 根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，再根据根与系数的关系结合x₁x₂＞x₁+x₂，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，由两个k的范围无交集即可得出不存在实数k使得x₁x₂＞x₁+x₂成立．

解答 解：不存在，理由如下：
∵方程x²-4x+k+1=0有实数根，
∴△=（-4）²-4（k+1）=12-4k≥0，
∴k≤3．
∵x₁，x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=k+1，
∵x₁x₂＞x₁+x₂，
∴k+1＞4，
解得：k＞3．
∴不存在实数k使得x₁x₂＞x₁+x₂成立．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根的判别式以及根与系数的关系分别求出k的取值范围是解题的关键．