Question

5．在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，当tan∠PAE=$\frac{1}{2}$时，BP的值为3或7．

Answer 1

分析 由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到$\frac{BP}{CE}=\frac{AB}{PC}$=2，再分情况讨论，从而求出a的值．

解答 解：设BP=a，如图，根据tan∠PAE=$\frac{1}{2}$，可得：$\frac{AP}{PE}$=2，
∵∠APB+∠BPE=90°，∠CEP+∠EPC=90°，
∴∠CEP=∠APB，
又∵∠ABP=∠PCE，
∴△ABP∽△PCE，
∴$\frac{BP}{CE}=\frac{AB}{PC}$=2，
于是：$\frac{a}{EC}=\frac{4}{5-a}$=2 ①或 $\frac{a}{EC}=\frac{4}{a-5}$=2 ②
解得：a=3，EC=1.5或 a=7，EC=3.5．
∴BP=3或7；
故答案为：3或7．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．