Question

20．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m水面CD的宽是10m．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？
（3）现有一艘以每小时5km的速度向此桥径直驶来，当船距此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位在CD处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD的距离为h米．则D（5，-h），B（10，-h-3），代入抛物线的解析式解方程组即可．
（2）当x=3时，y=-$\frac{9}{25}$，因为$\frac{9}{25}$-（-4）＞2.5，所以在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
（3）求出水位上涨到CD处时的时间，再求出船到桥是时间，比较这两个时间的大小，即可判断．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD的距离为h米．
则D（5，-h），B（10，-h-3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a=-h}\\{100a=-h-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{25}}\\{h=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{25}$x²

（2））当x=3时，y=-$\frac{9}{25}$，
∵$\frac{9}{25}$-（-4）＞2.5
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．

（3）水位由CD处涨到点O的时间为：1÷0.25=4（小时），
船行驶的时间=$\frac{35}{5}$=7小时．
∵7＞4，
∴该船按原来的速度行驶，不能安全通过此桥、

点评 本题考查二次函数的实际应用、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是学会利用待定系数法构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决实际问题，所以中考常考题型．