Question

等腰直角△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB中点，以点D为顶点作∠EDF=90°，角的两边分别与两直角边交于点E，F，连接EF．
探究：（1）如图（1）当DE⊥AC时，猜想线段AE、BF、EF长度之间的关系，并加以证明．
（2）如图（2）当DE不与AC垂直时（1）的结论是否存在，并加以证明；
（3）若∠EDF的两边分别与AC延长线、CB延长线交于点E，F连接EF，利用备用图画出图形，直接写出线段AE、BF、EF长度之间的关系（不用证明）．

Answer 1

分析：（1）AE²+BF²=EF²，理由为：连接CD，如图1所示，由三角形ABC为等腰直角三角形，得到AD=CD，且∠A=∠DCF=45°，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得出三角形ADE与三角形CDF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=CF，再由AC=BC，得到CE=BF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列车关系式，等量代换即可得证；
（2）如图（2）当DE不与AC垂直时（1）的结论存在，利用为：连接CD，如图2所示，由三角形ABC为等腰直角三角形，得到AD=CD，且∠A=∠DCF=45°，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得出三角形ADE与三角形CDF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=CF，再由AC=BC，得到CE=BF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列车关系式，等量代换即可得证；
（3）三线段之间的关系是AE²+BF²=EF²，理由为：连接接CD，如图所示，由三角形ABC为等腰直角三角形，得到AD=CD=BD，且∠ACD=∠ABC=45°，得到一对邻补角相等，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得出三角形CDE与三角形BDF全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得到CE=BF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列车关系式，等量代换即可得证．

解答：解：（1）AE²+BF²=EF²，理由为：
连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠A=∠DCF=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
则AE²+BF²=EF²；
（2）如图（2）当DE不与AC垂直时（1）的结论成立，理由为：
连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠A=∠DCF=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
则AE²+BF²=EF²；
（3）根据题意画出相应的图形，如图所示：
连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB，∠ACD=∠ABC=45°，
∴∠ECD=∠FBD=135°，
∵∠CDE+∠EDB=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，

∠ECD=∠FBD CD=BD ∠CDE=∠BDF

，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，又AC=BC，
∴CF=BC+BF=AC+CE=AE，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
则AE²+BF²=EF²．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用了等量代换的思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．