Question

已知在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，且OA=1，OB=3，
（1）如图1，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．求点C的坐标；
（2）如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APQ，过点Q作QE⊥x轴于E，那么PO-QE的值会随着点P的运动而改变吗？如果改变，请说明理由；如果不变，请求出PO-QE的值是多少？

Answer 1

分析：（1）如图1，过C作CD⊥x轴于D．构建全等三角形：△CDA≌△AOB（AAS），则AD=OB=3，CD=OA=1，故OD=4，所以易求C（-4，-1）；
（2）如图2，过点Q作QR⊥y轴于R．则四边形QEOR是矩形，通过证△OPA≌△RQP（AAS），推知OA=PR，则OR=OP-PR=OP-OA，所以OP-OR=OA=1，即OP-QE=1，始终保持不变．

解答：解：（1）如图1，过C作CD⊥x轴于D．
∵∠BAC=90°，∠AOB=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
在△CDA与△AOB中，

∠CDA=∠AOB ∠1=∠2 CA=AB

，
∴△CDA≌△AOB（AAS），
∴AD=OB=3，CD=OA=1，
∴OD=4，
∴C（-4，-1）；

（2）（PO-QE）的值不会随着点P的运动而改变，且OP-QE=1．理由如下：
如图2，过点Q作QR⊥y轴于R．则四边形QEOR是矩形，
∴QE=OR．
∵∠APQ=90°，∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
在△APO与△PQR中，

∠AOP=∠PRQ ∠2=∠1 AP=PQ

∴△OPA≌△RQP（AAS），
∴OA=PR，
∴OR=OP-PR=OP-OA，
∴OP-OR=OA=1，即OP-QE=1，始终保持不变．

点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及等腰直角三角形的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．