Question

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB=10，AD：DC=2：3时，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得∠ACB=∠A=45°，再根据旋转的性质得∠BCE=∠A=45°，于是得到∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°；
（2）根据等腰直角三角形的性质得AC=

2

AB=10

2

，再利用AD：DC=2：3得到AD=4

2

，DC=6

2

，则根据旋转的性质得CE=AD=4

2

，然后根据勾股定理计算BE．

解答：解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠A=45°，
∵△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°；

（2）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB=10

2

，
∵AD：DC=2：3，
∴AD=

2

5

AC=4

2

，DC=

3

5

AC=6

2

，
∵△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE，
∴CE=AD=4

2

，
在Rt△DCE中，DE=

(4 2 )2+(6 2 )2

=2

26

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形性质以及勾股定理．