Question

8．如图，O是坐标原点，过点A（-1，0）的抛物线y=x²-bx-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．
（1）求b的值．
（2）连结BD、CD，动点Q的坐标为（m，1）．
①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值；
②连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值；
（2）①可先求得OB、OC和BE的长，再利用平行四边形的性质证明△QFC≌△BED，可证明FQ=2，可求得m的值；②记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N），连接OM、CM．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出sin∠CQO，可得出sin∠CQO的值随着OM的增大而减小，则可得⊙M与直线y=1相切，再结合勾股定理可求得Q点的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x²-bx-3，可得1+b-3=0，解得b=2；
（2）①设抛物线的对称轴与x轴交于点E．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），则OE=1，DE=4，
令x=0得，y=-3；令y=0得，x²-2x-3=0．
解得x=-1或x=3．
∴OB=3，OC=3，BE=2，
如图1，过C作BD的平行线与直线y=1相交，则交点必为Q，设直线y=1与y轴交于点F，则CF=4．

∵DE∥FC，
∴∠FCQ=∠EDB．
又∵CF=4=DE，∠QFC=90°=∠BED，
在△QFC和△△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCQ=∠EDB}\\{CF=DE}\\{∠QFC=∠BED}\end{array}\right.$
∴△QFC≌△BED，
∴CQ=BD，FQ=EB=2，
∴m=FQ=2；
②如图2，记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N）．

连接OM、CM，则∠CQO=$\frac{1}{2}$∠CMO=∠OMN，MC=MO=MQ，
∴sin∠CQO=sin∠OMN=$\frac{ON}{OM}$=$\frac{1.5}{OM}$，
∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小．
又∵MO=MQ，
∴当MQ取最小值时sin∠CQO最大，
即MQ垂直直线y=1时，∠CQO最大，
此时，⊙M与直线y=1相切．
∴MQ=NF=2.5，MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=2，
∴Q坐标为（2，1）．
根据对称性，另一点（-2，1）也符合题意．
综上可知，Q点坐标为（2，1）或（-2，1）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、平行四边形的性质、直线和圆的位置关系、三角函数的定义等知识点．在（2）①中构造三角形全等证得FQ=EB=2是解题的关键，在②中确定出∠CQO最大时⊙M与直线y=1相切是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．