Question

12．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
32→3²+2²=13→1²+3²=10→1²+0²=1，
70→7²+0²=49→4²+9²=97→9²+7²=130→1²+3²+0²=10→1²+0²=1，
所以32和70都是“快乐数”．
（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；
（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．

Answer 1

分析 （1）根据“快乐数”的定义计算即可；
（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算．

解答 解：（1）∵1²+0²=1，
∴最小的两位“快乐数”10，
∵19→1²+9²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1，
∴19是快乐数；
证明：∵4→16→37→58→89→145→42→20→4，
4出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，
所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．
（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，
则a²+b²+c²=10或100，
∵a、b、c为整数，且a≠0，
∴当a²+b²+c²=10时，1²+3²+0²=10，
①当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，
②当a=2时，无解；
③当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，
同理当a²+b²+c²=100时，6²+8²+0²=100，
所以三位“快乐数”有680，608，806，860．
综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，
又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．

点评 本题考查的是因式分解的定义、“快乐数”的定义，正确理解“快乐数”的定义、掌握分情况讨论思想是解题的关键．