Question

【题目】已知⊙O中，弦AB＝AC，∠BAC＝120°

（1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径．

（2）如图②，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）PB+PC＝PA，见解析

【解析】

（1）连接OA、OB、OC，如图1，证明△OAB≌△OAC得到∠OAB＝∠OAC，则∠OAB＝∠OAC＝60°，然后判断△OAB为等边三角形得到OA＝AB＝3；

（2）把△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，如图2，则AQ＝AP，BQ＝PC，∠ABQ＝∠C，∠QAP＝120°，再判断点P、B、Q共线，作AH⊥PQ于H，如图2，则QH＝PH，利用余弦的定义得到，从而得到．

解：（1）连接OA、OB、OC，如图1，

∵AB＝AC，OA＝OB＝OC，

∴△OAB≌△OAC（SSS），

∴∠OAB＝∠OAC，

而∠BAC＝120°，

∴∠OAB＝∠OAC＝60°，

∴△OAB为等边三角形，

∴OA＝AB＝3，

即⊙O的半径为3；

（2）PB+PC＝PA．

理由如下：

∵AB＝AC，∠BAC＝120°

∴把△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，如图2，

∴AQ＝AP，BQ＝PC，∠ABQ＝∠C，∠QAP＝120°，

∵∠ABP+∠C＝180°，

∴∠ABP+∠ABQ＝180°，

∴点P、B、Q共线，

作AH⊥PQ于H，如图2，则QH＝PH，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．