Question

函数y=

1

x

（x＞0）与y=

4

x

（x＞0）的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线x=t（t＞0）分别与两个函数图象交于点Q，R，连接PQ，PR．
（1）用t表示PQ的长度，并判断随着t的值逐渐增大，RQ长度的变化情况；
（2）当t从小到大变化时，△PQR的面积是否发生变化？请说明理由；
（3）当t=1时，△PQR的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为

 

时，△PQR的周长最小，最小周长是

 

；如果不发生变化，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由于R和Q的横坐标都是t，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出RQ的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性；
（2）根据三角形面积公式易得S_△PRQ=3，于是可判断PQR的面积不发生变化
（3）当t=1时，易得Q（1，1），R（1，4），则RQ=3，作点R关于y轴的对称点M，连结MQ，交y轴于P点，如图，则M点的坐标为（-1，4），利用待定系数法求出直线MQ的解析式为y=-

3

2

x+

5

2

，易得P点坐标为（0，

5

2

）；然后根据两点之间线段最短可判断此时△PQR的周长最小，接着根据勾股定理计算出MQ，从而可得到△PQR的周长的最小值．

解答：解：（1）当x=t时，y=

1

x

1

t

，则Q（t，

1

t

）；
当x=t时，y=

4

x

=

4

t

，则R（t，

4

t

），
所以RQ=

4

t

-

1

t

=

3

t

，
当t＞0时，RQ随t的增大而减小；
（2）△PQR的面积不发生变化．理由如下：
∵S_△PRQ=

1

2

•RQ•h=

1

2

×

3

t

×t=3，
∴，PQR的面积不发生变化；
（3）△PQR的周长发生变化．
当t=1时，Q（1，1），R（1，4），则RQ=3，
作点R关于y轴的对称点M，连结MQ，交y轴于P点，如图，则M点的坐标为（-1，4），
设直线MQ的解析式为y=kx+b，
把M（-1，4），Q（1，1）分别代入得

-k+b=4 k+b=1

，解得

k=- 3 2 b= 5 2

，
∴直线MQ的解析式为y=-

3

2

x+

5

2

，
当x=0时，y=-

3

2

x+

5

2

=

5

2

，
∴P点坐标为（0，

5

2

）；
∵PM=PR，
∴PR+PQ=PM+PQ=WQ，
∴此时△PQR的周长最小，
在Rt△MRQ中，∵RQ=3，RM=2，
∴MQ=

32+22

=

13

，
∴PQ+PR=MQ=

13

，
∴△PQR的周长的最小值为3+

13

．
故答案为（0，

5

2

）；3+

13

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题．