Question

已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求在其内部作出一个半圆，直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，则该半圆的半径是

 

（结果保留根号）．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：分类讨论

分析：分两种情况：①是直径在斜边上；②是直径在腰上分别求解半圆半径的长即可．

解答：解：①∵半圆的直径在△ABC的斜边上，且半圆的弧与△ABC的两腰相切，切点为D、E，
如图1，连接OD，OA，

∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=

1

2

AC=2．
②∵半圆的直径在△ABC的腰上，且半圆的弧与△ABC的斜边相切，切点为D，
如图2，连接OD，设半圆的半径为r，

∴OB=4-r，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
∴∠B=45°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OD=BD=r，
∴2r²=（4-r）²，解得r=-4+4

2

，r=-4-4

2

（舍去），
故答案为：2或-4+4

2

．

点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．