Question

14．如图，AB是⊙O的直径，割线DA，DB分别交⊙O于点E，C，且AD=AB，∠DAB是锐角，连接EC、OE、OC．
（1）求证：△OBC≌△OEC．
（2）填空：
①若AB=2，则△AOE的最大面积为$\frac{1}{2}$；
②当∠ABD的度数为60°时，四边形OBCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分线，判断出∠BAC=∠DAC，得出EC=BC，用SSS判断出结论；
（2）先判断出三角形AOE面积最大，只有点E到直径AB的距离最大，即是圆的半径即可；
（3）由菱形判断出△AOC是等边三角形即可．

解答 解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
∵AD=AB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴$\widehat{BC}=\widehat{EC}$，
∴BC=EC，
在△OBC和△OEC中$\left\{\begin{array}{l}{BC=EC}\\{OB=OE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OEC，
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB=2，
∴OA=1，
设△AOE的边OA上的高为h，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA×h=$\frac{1}{2}$×1×h=$\frac{1}{2}$h，
∴要使S_△AOE最大，只有h最大，
∵点E在⊙O上，
∴h最大是半径，
即h_最大=1
∴S_△AOE最大=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$，
（3）由（1）知，BC=EC，OC=OB，
∵四边形OBCE是菱形．
∴BC=OB=OC，
∴∠ABD=60°，
故答案为60°．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，菱形的性质和判定，解本题的关键是确定面积最大时，点E到AB的距离最大是半径．