Question

15．如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是-1+$\sqrt{5}$．（结果保留根号）

Answer 1

分析 可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值．

解答 解：∵AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180-∠A}{2}$=72°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，
设AD=x，则BD=BC=x．则$\frac{2}{x}$=$\frac{x}{2-x}$，
∴x=-1$+\sqrt{5}$，（负值舍去），
∴$AD=-1+\sqrt{5}$．
故答案为：-1$+\sqrt{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证三角形相似是解题的关键．