Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，∠DCA=∠B，点D在BA延长线上，AE∥BC，交CD于点E，AE=$\frac{25}{8}$cm．
（1）求BC的长；
（2）求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件证得△ABC∽△AEC，列比例式即可解出答案．
（2）过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，交AE于H，通过三角形相似得到对应边上的高，根据三角形面积的和差解出结果．

解答 解：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，∵∠DCA=∠B，
∴∠EAC=∠ACB=∠DCA=∠B，
∴△ABC∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
∵AB=AC=5，AE=$\frac{25}{8}$，
∴BC=8；

（2）过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，交AE于H，
∴BM=4，AM=3，DH=DN-3，
∵AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{DH}{DN}$，
∴$\frac{\frac{25}{8}}{8}$=$\frac{DN-3}{DN}$，
∴DN=$\frac{64}{13}$，
∴S_△ADC=S_△DBC-S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{64}{13}$-$\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{25}{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的求法，正确的作出辅助线是解题的关键．