Question

19．【感知】如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．
【探究】如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．
【拓展】如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF=$\frac{3}{2}$CF=2BE，S_△ABF=6，则S_△BCD的大小为13．

Answer 1

分析 探究：利用平角的定义得出∠DAC=∠EBA即可得出结论；
拓展：先判断出△ADC≌△BEA，进而得出S_△ADC=S_△BEA，再利用同高的两三角形的面积的比等于底的比求出△ABE，△BCF的面积，即可得出结论．

解答 解：探究：△ADC与△BEA全等，
理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠DAC=180°-∠BAC=120°，∠EBA=180°-∠ABC=120°，
∴∠DAC=∠EBA，
∵AD=BE，
∴△ADC≌△BEA；

拓展：∵∠1=∠2，
∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，
∵AD=BE，AC=AB，
∴△ADC≌△BEA（SAS），
∴S_△ADC=S_△BEA，
∵AF=2BE，AF=BF，
∴BF=2BE，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABF=3（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴S_△ADC=3，
∵AF=$\frac{3}{2}$CF，
∴S_△BFC=$\frac{2}{3}$S_△ABF=4（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴S_△BCD=S_△BCF+S_△ABF+S_△ADC=13，
故答案为13．

点评 此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同高的三角形面积的比等于底的比，解探究的关键是得出∠DAC=∠EBA，解拓展的关键是求出△ADC的面积，是一道基础题目．