Question

5．如图，AB为⊙O的直径，$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，连接BC，CD，AD．
（1）求证：∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BAD；
（2）若$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，求cos∠CBA的值．

Answer 1

分析 （1）先由切线的性质得出∠OCE=90°，再由直径所对的圆周角是直角，即可得出∠ACO=∠BCE，即可得出结论；
（2）先判断出OE是△ABD的中位线，即：OD=$\frac{1}{2}$AD=a，再用勾股定理建立方程得出R=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠BCE=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ACO=∠BCE，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BAD，
（2）设CD=a，
∴AD=2a，
如图2，连接BD，OC，AC
∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴BC=CD=a，OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴OE∥AD，
∵OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=a，
设OB=OA=R，
在Rt△BCE中，BE²=a²-（R-a）²，
在Rt△OBE中，BE²=R²-a²，
∴a²-（R-a）²=R²-a²，
∴R=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$a（舍）或R=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△ABC中，cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{2R}$=$\frac{a}{（1+\sqrt{3}）a}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 此题考查的是切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形的中位线的性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是得出∠BCE=∠ACO，解（2）的关键是用a表示出R，是一道基础题．