Question

2．如图，抛物线y=a（x²-2mx-3m²）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）与x轴分别交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），
（1）用含m的代数式表示a；
（2）若AB=4，求此二次函数的解析式；
（3）若点D在该抛物线上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交抛物线于点E，AB平分∠DAE，求证：$\frac{AD}{AE}$为定值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与y轴的交点坐标即可得出结论；
（2）令y=0，确定出A，B的坐标，利用AB=4，即可求出a，m的值，即可得出结论；
（3）先判断出△ADM∽△AEN，得出$\frac{AM}{AN}$=$\frac{AD}{AE}=\frac{DM}{EN}$，再求出A，B，C的坐标，进而求出点E的坐标，即可求出ENM即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x²-2mx-3m²）=ax²-2amx-3am²，
∵-3am²=-3，
∴a=$\frac{1}{m^2}$，

（2）令y=0，∴0=a（x²-2mx-3m²）=a（x-3m）（x+m），
∴x=3m或x=-m，
∵m＞0，
∴A（-m，0），B（3m，0），
∵AB=4，
∴3m-（-m）=4，∴m=1，
由（1）知，a=$\frac{1}{{m}^{2}}$，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，

（3）定值为$\frac{3}{5}$．
如图，过D、E作x轴的垂线段，垂足为M、N．
∴∠AMD=∠ANE=90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAB=∠EAB，
∴△ADM～△AEN，∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{AD}{AE}=\frac{DM}{EN}$，
由（2）知，A（-m，0），B（3m.0），C（0，-3），
∵CD∥AB，令y=0=-3，
∴a（x²-2mx-3m²）=-3①，
∵a=$\frac{1}{{m}^{2}}$②，
联立①②得，x=0（舍）或x=2m，
∴D（2m，-3），
∴AM=2m-（-m）=3m，DM=3，
设E（x，$\frac{1}{{m}^{2}}$（x²-2mx-3m²），
∴AN=x+m，EN=$\frac{1}{{m}^{2}}$（x²-2mx-3m²），
∴$\frac{3m}{x+m}=\frac{3}{\frac{1}{{m}^{2}}（{x}^{2}-2mx-3{m}^{2}）}$，
∴x=-m（舍）或x=4m，
∴EN=$\frac{1}{{m}^{2}}$（16m²-2m×4m-3m²）=5，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DM}{EN}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，相似三角形的性质，解本题的关键是求出EN，是一道基础题目．