Question

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N时．
（1）判断△CMN的形状，并说明理由；
（2）试探究△AMN的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AMN的周长的最小值．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用菱形的性质首先得出△ABC是等边三角形，进而得出△ANC≌△BMC，即可得出△CMN是等边三角形；
（2）利用当CM⊥AB时CM最短，由△CMN是等边三角形，MN也是最短的，C是边长为2等边△ABC的高，即可得出△AMN周长的最小值．

解答：解：（1）△CMN是等边三角形，
理由：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAD，AD∥BC，AB=BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△ANC和△BMC中，

AN=BM ∠B=∠2 AC=BC

，
∴△ANC≌△BMC（SAS），
∴NC=MC，∠4=∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠3+∠5=60°，
∴△CMN是等边三角形；

（2）△AMN的周长有最小值，
理由：当CM⊥AB时CM最短，由△CMN是等边三角形，
∴MN也是最短的．
CM是边长为2等边△ABC的高，
∴CM=

3

，MN=

3

，
所以AM+AN+MN=2+

3

．
∴△AMN周长的最小值为：2+

3

．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和锐角三角函数等知识，根据题意得出MN最小时则△AMN的周长最小得出是解题关键．