Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．
（1）求证：∠PAC=∠B；
（2）若BC=6，⊙O半径为5，求PA的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由PA为圆O的切线，且AB为直角，利用切线的性质及直角所对的圆周角为直角，得到两个角为直角，利用同角的余角相等即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，根据勾股定理求出AC的长，根据（1）的结论，再由一对直角相等，得到三角形PAD与三角形ABC相似，由相似得比例根据AB，AD以及BC的长，即可确定出PA的长．

解答：（1）证明：∵PA为圆O的切线，且AB为直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B；
（2）解：在Rt△ACB中，根据勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=8，
由（1）得：∠PAC=∠B，
∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴PA：AB=AD：BC，
∵AC⊥OD，
∴AD=CD=4，
∴PA=

AB•AD

BC

=

10×4

6

=

20

3

．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．